Különleges napóra szerkesztések | MCSE

Különleges napóra szerkesztések

BEVEZETÉSKÉNT

A
napórát tekinthetjük egy egyszerű felépítésű, analóg
számítógépnek, amely a bemeneti adatokat a napóra jellemzőinek
segítségével kimeneti adatokká alakítja. Bemenő adatok a Nap
napi csillagászati koordinátái: a deklináció és az óraszög,
illetve az ezeknek megfelelő és helyben érzékelhető irány- és
a magassági szögek. Kimeneti adatok: az óravonalakkal jelzett
irányszögek és a hónapok mentén leolvasható távolságok. A
napóra jellemzői: a hely földrajzi szélessége, valamint az
árnyékvető illetve a skála felület alakját és helyzetét
megadó szögek és távolságok.

A
napórák viszonylag egyszerű, hagyományos változatai a fali és
asztali napórák. Ezek óravonalai egymáshoz mérten a napóra
jellemzőitől függően, különböző szögekben állnak. Mégis
igény lehet például, hogy előírjuk egyes skálavonalak helyét –
alakját. Effajta lehetőségek megvalósítására alkalmasak az
egyébként is látványos megjelenésű kétszálas napórák.

Ezek
olyan napórák, amelyeknek az árnyékvetőjét nem egy pálca (rúd,
gnomon), hanem alapesetben a skálával párhuzamos síkokban lévő,
egymáshoz képest kitérő helyzetű, két árnyékvető szál
(drót, vékony pálca, kötél, lánc) alkotja. A szálakat és az
árnyékfelfogó síkot, továbbá a számított skálát a
méretezésnek megfelelő helyen és formában kell egymáshoz
illeszteni.

A
KÉTSZÁLAS NAPÓRA

A
kétszélas órák működésének alapja roppant szellemes és
egyszerű ötlet: nem kell semmilyen árnyékvető rúd, elég csak a
rúd végpontját megjelölni két, egymást keresztező szál
egybeeső pontjával. A skálával párhuzamos, felette azonos
távolságra lévő szálakkal bíró napóráknak a működési elve
és a skála számítási képletei pontosan azonosak a szokványos
elrendezésű asztali vagy fali órákéval. A szálak közös
pontjának árnyéka naponta a Nap deklinációja és a földrajzi
hely megszabta körkúp, valamint az ezt metsző skálasík által
meghatározott metszésvonal szerinti hiperbola mentén fog mozogni.
Ezen a görbén ott lesznek a napi időpontok osztásvonalai, mint
ahol a szokványos, pólusra irányuló árnyékvető vagy a
megfelelő gnomonhoz és csúcspontjához szerkesztett skálapontok
vannak.

A
Nap helyzetének változását mindkét szál árnyéka úgy követi,
hogy az árnyékok párhuzamosak maradnak az árnyékvető szálukkal
és így korábbi helyzetükkel is. Ha a szálak magassága eltérő,
a mozgások jellege nem változik, de a szálárnyékok mozgási
sebessége már egymástól eltérő mértékű lesz. A skálához
közelebbi szál árnyéka időegység alatt kisebb mértékben
mozdul el, a távolabbi nagyobb mértékben, Így a gnomon
végpontjának árnyékához képest a két szál árnyékának
metszéspontjai már más helyekre kerülnek, azaz a skála a gnomon
skálájához viszonyítva “torzul”. Ha a szálak irányai és
magasságuk az árnyékfogó síknak megfelelő követelményeket is
kielégítik, a napóra óravonalainak osztásköze egyenletesen
15-15 fok lesz (ugyanúgy, mint az egyenlítői síkkal párhuzamos
napóraváltozaté). Az ilyen vízszintes elrendezés az egyenszögű
kétszálas

asztali napóra.

AZ ASZTALI
NAPÓRÁK

A
legegyszerűbb ilyesfajta szerkezet az olyan kétszálas asztali
napóra, amelynél az egyik szál a helyi délkör síkjában van,
azaz Észak-Dél irányú és a másik szál erre merőleges, azaz
Kelet-Nyugat irányú. Innen adódik, hogy az egyik szálat délköri
szál
nak, a másikat
keresztszálnak
célszerű nevezni. Egyébként ennek az elnevezésnek csak az
asztali napóránál van közvetlen értelme, mert a déltől
elfordult, függőleges falak napóráinál már nem szükségszerűen
van (de lehet!) függőleges délköri és vízszintes keresztszál.

A
nem egy síkban lévő két szállal bíró asztali napórák
skálájának meghatározásához vizsgáljuk a vízszintes síkon,
függőlegesen álló G
árnyékvető rúd csúcspontja (“gnomon-csúcs”)
által vetett P[x(t),y(t)]
árnyékpont koordinátái az 1.
ábra szerint.

Függőleges
gnomon árnyéka vízszintes síkon.

Legyen
a függőleges rúd a φ
földrajzi szélességű helyen egy olyan derékszögű, egyenközű
koordinátarendszer 0
középpontjában, amelyiknek x
tengelye Kelet felé, az y
tengelye Észak felé mutat. A vizsgálat t
(helyi) időpillanatában legyen a Nap időszöge τ,
deklinációja δ,
továbbá a helyi koordináták szerinti irányszöge A(δ,τ),
és magassági szöge m(δ,τ).
Mint ismeretes,

sin(m)
= sin(φ)×sin(δ)+cos(φ)×cos(δ)×cos(τ)

tan(A)
=

sin(τ)

=

sin(A)

sin(φ)×cos(τ)-tan(φ)×cos(φ)

cos(A)

vagy

sin(A)
=

-cos(δ)×sin(τ)

cos(m)

Miként
az 1. ábra mutatja, a G
rúd 1
jelű végpontjának árnyéka a vízszintes alapsíkon a 2
jelű pontban van. Legyen a μ
(az 140
lapszög) a délköri
emelkedési szög
,
az η
(az 130
lapszög) a keresztirányú
emelkedési szög
,
az M
(az 124
élszög) a keresztirányú
hajlásszög

és az N
(az 123
élszög) a délköri
hajlásszög
.

Az
ábra nyomán a gúla egyes derékszögű háromszögeire felírt
trigonometriai alapösszefüggésekből kaphatunk olyan egyenleteket,
amelyekből leveethetők a gnomon köré rajzolt gúla szög- és
oldaladatai közti kapcsolatok, és ezekből a keresett x(t),
y(t)

vagy inkább az x(τ), y(τ)
koordinátáknak a Nap A(δ,τ),
m(δ,τ)

pillanatnyi adataitól függő értékei. A levezetések részletezése
nélkül a legfontosabb összefüggések:

y
=
G/tan(μ) x
= y×tan(A)

sin(m)
= sin(μ)×sin(M)
= sin(η)×sin(N)

sin(m)
=

sin(μ)×tan(η)

[sin2(μ)+tan2(η)]0,5

sin(m)
=

sin(η)×tan(μ)

[sin2(η)+tan2(μ)]0,5

tan(M)
=

[cos2(τ)+tan2(δ)]0,5

sin(τ)

tan(η)
= tan(m)/sin(A) tan(μ)
= tan(m)/cos(A)

tan(N)
= tan(μ)/sin(η) tan(M)
= tan(η)/sin(μ)

tan(M)/tan(N)
= tan(η)/tan(μ) tan(M)×tan(N)
= 1/cos(η)×cos(μ)

cos(N)
= cos(m)×cos(A) cos(M)
= cos(m)×sin(A)

Ezekben
a kifejezésekben az A(δ,τ),
m(δ,τ)

Nap-jellemzők közvetítésével, többszörösen is szerepel a t
τ
idő,
így ezek az összefüggések csak nehézkesen használhatók. E
képleteket némileg átalakítva és egyszerűbb írásmódú
jelölésekkel ekképp fogjuk használni:

tan(A)
=

sin(τ)

=

sin(τ)

=

sin(φ)×cos(τ)-cos(φ)×tan(δ)

sin(φ)×[cos(τ)-C1]

tan(A)
=

sin(τ)

sin(φp

tan(μ)
=

tan(m)

=

q×cos(φ)

cos(A)

p×sin(φ)

tan(η)
=

tan(m)

=

q×cos(φ)

sin(A)

sin(τ)

sin(m)
= sin(φ)×sin(δ)+cos(φ)×cos(δ)×cos(τ)
=

=
cos(φ)×cos(δ)×[cos(τ)+C2]
=

=
cos(φ)×cos(δq

C1
= tan(δ)/tan(φ)
C2
= tan(δ)×tan(φ)

p
= [cos(τ)-C1] q
= [cos(τ)+C2]

Ezeket
behelyettesítve az árnyékpont koordinátáit leíró
kifejezésekbe, egyszerüsítések után a gnomoncsúcs
árnyékpontjának időfüggvényei a vízszintes síkon, egyszerűbb
alakban:

x
= G×

sin(τ)

cos(δ)×[cos(τ)+C2]

y
= G×

sin(φ)×[cos(τ)-C1]

cos(φ)×[cos(τ)+C2]

A
kiindulási feltételeket még általánosítsuk egy kissé.
Tekintsük a 2. ábra szerint egy olyan ferde síkot, amely i
szöggel emelkedik Észak felé. A G
árnyékvető rúd most is álljon merőlegesen az árnyékfelfogó
síkra, annak 0
pontjában. Legyen a derékszögű helyi koordinátarendszer y
tengelye a lejtősik és az É-D irányú délköri sík
metszésvonala, az x
tengelye
a lejtőnek az a vonala, amelyben a vízszintes alapsík és a lejtő
metszik egymást, a többi jellemző azonos az előző ábráéval.

Függőleges
gnomon árnyéka lejtős síkon.

A
G
rúd 1
jelű végpontjának árnyéka most is a vízszintes alapsíkon a 2
jelű pontban lenne, ha átlátszó lenne az árnyékfelfogó sík.
Mivel ez nem átlátszó, a rúd csúcspontjának árnyéka a lejtő
P(x,y)
pontjába kerül. Az elrendezés [yz]
síkban lévő vetülete a 2. ábra alsó része. Most is a Nap
A(δ,τ),
m(δ,τ)

pillanatnyi értékeitől függő x(τ),
y(τ)

koordinátákat keressük. Rendezések és egyszerüsítések után a
keresett koordináták:

y
= G×

1-

tan(m)

×tan(i)

cos(A)

tan(i)+

tan(m)

cos(A)

x
=

G

×

tan(A)

cos(i)

tan(i)+

tan(m)

cos(A)

Az
előzőekhez hasonlóan küszöböljük ki a közbülső A(δ,τ),
m(δ,τ)

változókat. Újabb rendezés és egyszerüsítés után a
kényelmesebb alak:

x
=

G

×

sin(τ)

cos(φ-i)

cos(τ)+C4

y
= G×tan(φ-i

cos(τ)-C6

cos(τ)+C4

ahol

C6
=

tan(δ)

tan(φ-i)

C4
= tan(δ)×tan(φ-i)

Ezekkel
a formulákkal tetszés szerinti (φ,i)
jellemzőkkel bíró lejtőkhöz, (τ)
időpontokhoz és (δ)
évszakokhoz számíthatjuk, majd rajzolhatjuk a lejtőre merőlegesen
álló, (G)
magasságú gnomon végpontjához tartozó P(x,y)
árnyékpontok sorozatát, azaz megfelelő feliratozás mellett
kirajzolhatjuk a Nap éves illetve napi útját, egy napóra skáláit.
Ha az árnyékfelfogó sík vízszintes, azaz i
= 0, akkor a C4
= C2
és C6
= C1
egyenlőségek adódnak az előzőek szerinti lelölésekkel
összhangban.

Legyen
most az egyik egyenes a helyi délkör síkjában is, ekkor ez lesz a
délköri szál, és így egyúttal a helyi koordinátarendszer y
tengelyével is párhuzamos lesz. Legyen a másik szál e délköri
szálra merőleges, azaz kelet-nyugati irányú, s így az, az x
tengellyel lesz párhuzamos. Ezek a megkötések az asztali napóra
működésének elemzése (az árnyék-képzés mikéntje)
szempontjából nem jelentenek korlátot, de a további számításokat
egyszerüsítik.

A
skálasíkkal párhuzamos szál árnyéka önmagával párhuzamosan
mozdul el a Nap vándorlása során. A Nap pillanatnyi helyzete
(iránya, magassága) a párhuzamosságot nem befolyásolja. A
kelet-nyugati irányú keresztszál árnyékának helye (ez az
árnyékpont y
koordinátája, ha kellően hosszú a szál) a Nap magssági szögétől
függ, míg a kellően hosszú délköri szál árnyéka (az
árnyékpont x
koordinátáját) jellemzően a Nap irányszöge határozza meg.

Ha valamelyik
szálat önmagával párhuzamosan felemeljük vagy leszüllyetjük,
árnyékának napi mozgása csak annyiban változik, hogy az eredeti
és az új távolság arányának megfelelően gyorsabban/lassabban
(azaz időegység alatt nagyobb/kisebb mértékben) fog elmozdulni.
Ezért a különböző magasságban lévő szálak árnyékainak
egymáshoz viszonyított helyzete, s így az árnyékok metszéspontja
is el fog térni eredeti, a gnomon-csúcs adta árnyékponttól.
Ennek az eltérésnek az ismerete adja azt a lehetőséget, hogy az
óraskála vonalait igény szerint, kisebb-nagyobb mértékben
átalakíthassuk.

Két
szál vízszintes síkkal (vázlat).

Legyen
tehát az [x,y]
skálasíktól a délköri szál D
és a kersztszál K
távolságra és a szálak legyenek párhuzamosak a koordináta
tengelyekkel (3. ábra). Ezeket a távolságokat helyettesítsük a G
gnomon csúcspontjának árnyékát megadó előzők kifejezésekbe
úgy, hogy D-vel
az x
és K-val
az y
irányú távolságokat számíthassuk. Ekkor kapjuk a P[x(
δ,τ,D);y( δ,τ,K)]

árnyékpontok koordinátáinak képleteit:

x
=

D

×

sin(τ)

=
A×

sin(τ)

cos(φ-i)

cos(τ)+C4

cos(τ)+C4

y
= K×tan(φ-i

cos(τ)-C6

=
B×

cos(τ)-C6

cos(τ)+C4

cos(τ)+C4

ahol ezek a
rövidítéseket is használjuk:

A
=

D

cos(φ-i)

B
= K×tan(φ-i)

A

=

D

B

K×sin(φ-i)

Ezek
azok a képletek, amelyekkel kényelmesen számíthatjuk a lejtőn
lévő kétszálas napóra skála pontjait és vonalait.
Természetesen a vízszintes asztal skáláját is ezek adják, ha
i=0
értékkel számolunk.

Most
számítsuk ki az aztali napóra skálaszögeit a 4. ábrán látható
vázlat alapján, ahol Z
a délvonaltól mért árnyékszög a napóra skáláján, Y
a középpont eltolás.

Kétszálas
asztali óra skálájának számításához.

Behelyettesítés
és rendezés után kapjuk, hogy

tan(Z)
=

x

=

A×sin(τ)

y+Y

(B+Y)×cos(τ)+Y×C4-B×C6

Ha
azt akarjuk, hogy az óravonal Z szöge független legyen az
évszakoktól (azaz a C4
és C6
közvetítésével a Nap deklinációjától), szükséges a C4-et
és C6-ot
tartalmazó tagok kiejtése, tehát legyen

Y
=

B×C6

=

K

C4

tan(φ-i)

Ezt
visszahelyettesítve tan(Z)
kifejezésbe, kapjuk, hogy

tan(Z)
=

A

×

sin(τ)

=

A

×

C4

×tan(τ)
=

D

×sin(φ-i)×tan(τ)

B+Y

cos(τ)

B

C4+C6

K

Ha
az időszög tangensének szorzótényezője egységnyi, akkor ez az
egyenlőség azt jelenti, hogy az időszög és a skálaszög
tangense, s ezért a szögek is egymással megegyeznek: egyenlő
időközökhöz egyenlő skálaközök tartoznak. A kitűzött célt,
az egyenközű skálát tehát akkor kapjuk, ha a tetszőlegesen
megválasztott D
délköri szál távolságához a keresztszálat K=D×sin(φ-i)
távolságra választjuk. Az Y
kifejezésébe visszatéva ezt a K
értéket, a skálavonal találkozási pontjára az Y=D×cos(φ-i)
értéket kapjuk.

Ezek után az
egyszerű, kétszálas, egyenközű skálával bíró, vízszintes
asztali napórát roppant kényelmesen és gyorsan lehet elkészíteni.

  • Ki kell
    jelölni az asztal észak-déli irányú délköri vonalát és
    rajta a skálavonalak tetszőleges helyen lévő pontját.

  • Meg
    kell húzni e ponton átmenő és a délköri vonalra merőleges
    kelet-nyugati vonalat (ez nem az x
    tengely!), továbbá a 15°-os szögű sugárnyalábot óravonalak
    gyanánt (7,5°-al a félórákat, stb.). Az óravonalakat el kell
    látni a megfelelő számozással is.

  • Kell
    még az asztal méretéhez igazodó, két egyforma, keményebb
    drótból a szögletes ácskapocshoz hasonlóra kialakított “lábas”
    árnyékvető szál. Az egyik szálat keresztszálként a
    kelet-nyugati irányú egyenes fölé, vízszintes helyzetben kell
    rögzíteni a függőleges “lábai” segítségével. Most még e
    keresztszálnak az asztallap feletti D
    magassága (!) a felülettel arányos, de érdemben tetszőleges
    lehet.

  • Ezt
    követően a keresztszálnak mindkét lábát északi irányba meg
    kell dönteni úgy, hogy az asztalhoz a hely φ
    földrajzi szélességének megfelelő szögben dőljenek. Ekkor a
    vízszintes keresztszál az asztallappal továbra is párhuzamos
    marad, de lejjebb, K=D×sin(φ)
    magasságba, és Y=D×cos(φ)
    értékkel északabbra (azaz az egyébként most érdektelen x
    tengely fölé) kerül.

  • Ezután
    a délköri szálat kell beállítani a “lábai” segítségével
    az asztallappal párhuzamosra, a délköri vonal fölé, szintén D
    magasságra.

Ezzel
az árnyékfelfogó sík, a két szál és az óraskála az lőzőekben
meghatározott kapcsolatba kerültek. Azaz kész az egyszerű,
pontos, kétszálas, egyenközű skálájú asztali napóránk.
Természetesen, ha az asztallap nem vízszintes, hanem i
szöggel emelkedik észak felé, a “lábakat” az asztalhoz mérten
(φ-i)
szöggel kell dönteni, azaz ekkor is a pólus felé kell
irányulniuk.

Ha
hónapvonalakat is akarunk ehhez az asztali napórához, ezek
pontjait
az alapképletekből lehet számítani, illetve e pontok alapján
rajzolhatók. A hónapvonalak egyenként az árnyékpontok
P[x(δ,τ,D);y(δ,τ,K)]
paraméteres alakjából úgy kapjuk, hogy kiküszöböljük az
időfüggést adó τ
paramétert. Végeredményeként a kúpszeletek általános
egyenletének megfelelő

Ax2
+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0

alakú
kifejezéshez jutunk, ahol

A=sin2(δ)/S2 S=D/K

B=D=0 E=sin(φ)×cos(φ)

C=sin2(δ)-cos2(φ) F=sin2(δ)-sin2(φ)

(és
ez a D nem azonos azzal a D-vel)

A
kapott együtthatókkal ez az egyenlet az adott hely hónapvonalainak
hiperboláit fogja leírni, ha a kétszálas óra (φ,D,K)
adataival, továbbá a megfelelő hónapra érvényes (δ)
Nap-deklinációval számolunk.

A kúpszeletek
matematikájából az is ismert, hogy a hiperbola

(y-Y0/a)2-(x-X0/b)2=1

alakú
középponti egyenletében szereplő állandókat az előző A, B, C,
D, E, F együtthatókból a következő képletek adják:


X0
=

C×D-B×E

B2-A×C


Y0
=

A×E-B×D

B2-A×C


a2;b2
=

-2×(F+D×X0+E×Y0)

A+C±(A-C)2+4B2

Behelyettesítve
az adott paramétereket, kapjuk az alábbi eredményeket, ahol a
távolságok hosszúság egysége (D,K)
szerintiek:

X0
= 0


Y0
=

-K

tan(φ)


cos(ω)
=

sin(δ)

cos(φ)


a
= K×

sin(δ)×cos(δ)

sin2(δ)-cos2(φ)


b
= D×

cos(δ)

sin2(δ)-cos2(φ)

A napóra
skálapontjait, a hónapvonalak hiperboláit és az óravonalak
egyeneseit az előzőekben leírt kifejezésekkel számíthatjuk,
rajzolhatjuk. E célra egy Excel munkalapra megfelelően beírt
függvénytáblázat és hozzá az Excel rajzolási tudománya jól
használható.

Vízszintes
gnomon árnyéka elfordult falon.


A DÉLI FAL
NAPÓRÁJA

A
függőleges, délre tájolt (Kelet-Nyugat irányú) fal óráinak
kétszálas változata (6. ábra) az azstali/lejtős változathoz
hasonlóan számítható. Egyenszögű skálával bíró változatot
a déli falra az előbbi képletekkel lehet készíteni, ha i=90°-os
dőlésszöggel számolunk.

Két
szál függőleges fallal (vázlat).

AZ
ELFORDULT FAL NAPÓRÁJA

A
kelet-nyugati irányból elfordult fal kétszálas napóráján
egyenletes lépésközű és pontos óraskálát csak akkor
kaphatunk, ha a szálaknak nemcsak a faltól való távolságát,
hanem a szálak hajlásszögét is a következő (levezetés nélkül
közölt) képletek szerint számítjuk. Ezt az elrendezést és a
további, újabb jelöléseket a 7. ábra értelmezi, és mutatja.

{mosimage}Elfordult
függőleges fal kétszálas napórája általános helyzetű árnyékvető
szálakkal.

A
függőleges és elfordult falon a koordináta rendszer y
tengelye a fal és a délköri sík metszésvonala, az x
tengely a fal egyik vízszintes egyenese. Az [1]
jelű délköri szál
a faltól G1
távolságra van, a [2]
jelű keresztszál
G2-re, és
természetesen mindkettő párhuzamos a fallal. A keresztszálnak az
origón átmenő [2']
párhuzamos árnyékvonala az x
tengellyel σ2
szöget zár be, a délköri szál origón átmenő [1']
árnyékvonala σ1
szöget (+ előjelek a rajz szerint).

Az
árnyékvető szálak árnyéka [1”]
és [2”]. Ezek az
ábra szerint P(x;y)
pontban metszik egymást, melynek koordinátáit a


x
= D×tan(A-α)+Dσ×

tan(m)

cos(A-α)


y
= K×

tan(m)

+
K×tan(A-α)

cos(A-α)

kifejezések
határozzák meg. Itt α
(elfordulás)
a függőleges fal normálisa és a délkör síkja közötti szög,
míg a Nap A(φ,δ,τ)
irányszögét és az
m(φ,δ,τ)

magassági szögét az előzőekben taglaltak szerint kell számítani.
A D,Dσ
K,Kσ

paramétereket a szálak (Gi,
σi
)
adataiból a


D
=

-G1×sin(σ1)×cos(σ2)-G2×sin(σ2)×cos(σ1)

sin(σ1-σ2)


K
=

G1×cos(σ1)×sin(σ2)-G2×cos(σ2)×sin(σ1)

sin(σ1-σ2)


Dσ
= G0×

cos(σ1)×sin(σ2)

sin(σ1-σ2)


Kσ
= G0×

sin(σ1)×cos(σ2)

sin(σ1-σ2)

G0
= G2-G1

képletek
adják. Ha behelyettesítjük ezekbe az alapkifejezésekbe az
A(φ,δ,τ)
és m(φ,δ,τ)
korábban idézett képleteit, rendezés után azokat a formulákat
kapjuk, amelyek némileg hasonlítanak a korábban levezetettek
szerkezetéhez, és amelyekkel már jól lehet számolni az
óravonalak, és hónapvonalak pontjait:


x
=

ax×sin(τ)+bx×cos(τ)+cx×tan(δ)

a×sin(τ)+b×cos(τ)+c×tan(δ)


y
=

ay×sin(τ)+by×cos(τ)+cy×tan(δ)

a×sin(τ)+b×cos(τ)+c×tan(δ)

ax
= D×cos(α)

bx
= Dσ×cos(φ)-D×sin(α)×sin(φ)

cx
= D×cos(φ)×sin(α)+Dσ×sin(φ)


ay
= Kσ×cos(α)

by
= K×cos(φ)-Kσ×sin(α)×sin(φ)

cy
= Kσ×cos(φ)×sin(α)+K×sin(φ)


a
= sin(α)

b
= cos(α)×sin(φ)

c
= -cos(α)×cos(φ)

Ha
az x(τ,δ)
és
y(τ,δ)
képletekből
kifejezzük a tan(δ)-t,
majd ezeket egymással egyenlővé tesszük, kiejthetjük az
árnyékpontok kifejezéséből a hónapfüggő deklinációs
tagokat, és csak az óravonalak
egyenlete marad meg. Rendezés után az óravonalak különböző
(A×x+B×y+C = 0; y = m×x+b; stb.) alakú egyenleteit kapjuk:

[K×cos(α)×cos(τ)+K×sin(α)×sin(φ)+
Kσ×cos(φ)×sin(τ)]×x-

-[Dσ×cos(α)×cos(φ)+Dσ×sin(α)×sin(φ)+D×cos(φ)×sin(τ)]×y-

-G1×G2×[sin(α)×cos(τ)-cos(α)×sin(φ)×sin(τ)]
= 0



y
=

K×cos(α)+[K×sin(α)×sin(φ)+Kσ×cos(φ)]×tan(τ)

×x-

Dσ×cos(α)+[Dσ×sin(α)×sin(φ)+D×cos(φ)]×tan(τ)


-

G1×G2×[sin(α)-cos(α)×sin(φ)×tan(τ)]

Dσ×cos(α)+[Dσ×sin(α)×sin(φ)+D×cos(φ)]×tan(τ)

Az
óravonalak közös metszéspontja (egy képzelt árnyékvető rúd
döféspontja, az asztali óránál Y=yT)
legyen T(x;y),
ennek koordinátái:


xT
= -

D×sin(α)×cos(φ)+Dσ×sin(φ)

sin(δ)


yT
=

K×sin(φ)×cos(α)+Kσsin(α)

=
Y

sin(δ)

sin(δ)
= cos(α)×cos(φ)

A
képzelt árnyékvető rúd talpvonalának h
időszögét úgy értelmezzük, hogy ott van az árnyékpont
vándorlási szögsebességének szélső értéke, s az ehhez
tartozó Z(h)
= ƒ×.
Ezek végképletei:


tan(h)
=

tan(α)

sin(φ)


tan(ƒ×)
=

sin(α)×cos(φ)+Dσ×sin(φ)

Kσsin(α)×cos(φ)+K×sin(φ)

A
délvonal pontjai τ
= 0
helyettesítésével az alapképletekből:


x
=

D×sin(α)+Dσ×tan(m)

cos(α)


y
=

Kσsin(α)+K×tan(m)

cos(α)

Innen
kiküszöbölve az m
magassági szöget, a délvonal és jellemzői:


y12:00
=

K

×x-

G1×G2

×tan(α)

Dσ

Dσ


x12::00
=

G1×G2

×tan(α)

K

A
délvonal Z(12:00)
skálaszögére:


tan(Z12:00)
=

K

=

G2×tan(σ1)-G1×tan(σ2)

Dσ

G1×G2

A
délvonal és az y
tengely közötti δ
szögre:


tan(δ)
=

K×cos(α)

K×sin(α)×sin(φ)+Kσ×cos(φ)

Ha
azt akarjuk, hogy az óravonalak egyenszögűek legyenek (ennek
jelzésére szolgál a felső indexként használt ×),
akkor az [1] jelű, eredetileg függőleges (de most már
elfordítható) délköri szál σ1
hajlásszögéhez a [2] jelű keresztszálat σ2×
hajlásszögűre kell állítani:


tan(σ2×)
=

1-cos(α)×cos(φ)-sin2(α)×cos2(φ)+tan(σ1)×sin(α)×sin(φ)×cos(φ)

tan(σ1)×cos(φ)×[cos(α)-cos(φ)]-sin(α)×sin(φ)×cos(φ)

továbbá
a G1
száltávolsághoz ezt a másik szálat


G2×
= G1×

sin(α)×sin(φ)+cos(φ)×tan(σ1)+cos(α)×tan(σ2)

sin(α)×sin(φ)+cos(α)×tan(σ1)+cos(φ)×tan(σ2)

távolságban
kell tartani a falhoz mérten.

Ha
azt akarjuk, hogy a skála óravonalai ne csak egyenszögűek
legyenek,
hanem az árnyékvető szálak merőlegesek is legyenek egymásra,
akkor az első szálat a talpvonalra merőlegesen kell a faltól G1
távolságban elhelyezni, míg a másodiknak a talpvonal feletti G2×
távolságban kell lennie. Azaz:


tan(σ2×)
= tan(h)
=

tan(α)

sin(φ)

σ1×
= h±90°

G2×
= G1×sin(g)
= G1×cos(α)×cos(φ)

A szálak természetesen egymással és a
fallal most is párhuzamosak.

VÁLTOZATOK A FALIÓRÁK SKÁLÁIRA

Mivel a szálakat összesen 4 méret adat
határozza meg, az alapképletekben jószerével tetszőlegesen
megválasztható 4 paraméterünk van. Az ezekkel való zsonglőrködés
további számtalan lehetőséget ad a skálák módosítására.
Néhány példa:

A
délvonal adatait az előbb úgy határoztuk meg, hogy a τ
= 0
feltételt helyettesítettük az alapegyenletekbe. Ha a Nap m(φ,δ,τ)
magassági szögét tesszük nullává, akkor azt az esetet
vizsgáljuk, amikor a Nap éppen a látóhatáron van. Ekkor két
eredményre juthatunk. Az első, mint ismeretes, hogy ekkor a Nap
kelésének (vagy nyugvásának) τK
időszögét kapjuk az m(φ,δ,τ)=0
egyenletből:

cos(τK)
= -tan(φ)×tan(δ)

A
másik eredményt (a horizont vonalat) akkor kapjuk, ha az
m(φ,δ,τ)=0
összefüggést az árnyékpont alapképleteiben vesszük figyelembe.
Azaz megkeressük a skála azon pontjait, amelyeket a kelő/nyugvó
Nap hoz létre (ha a látóhatárt eltakaró házak, fák, stb. nem
akadályozzák ebben). Ismét eltekintve a részletesebb
levezetésektől, a kétszálas napóra τK
időszöghöz
tartozó horizont skála vonalát [ZKK)]
az


y =

Kσ

×x = m×x

D


tan(ZK)
=

1

m


egyenlet írja
le. Általános esetben, az alapkifejezésekből adódik:


tan(ZK)
=

D

=

1

×[G2/tan(σ1)-G1/tan(σ2)]

Kσ

G2-G1

Ha
függőleges horizontvonalat akarunk (ZK
= 0°), akkor innen a tetszőleges, de 0°-tól és 90°-tól
különböző hajásszögű szálakra a


G2 = G1×

tan(σ1)

tan(σ2)

feltételeket
kell teljesíteni. Vízszintes horizontvonalhoz (ZK
= 90°) valamelyik szál legyen vízszintes (σ = 0), továbbá a G1

G2
is teljesüljön. Ha ZK
= 45°-os hajlásszögű horizontvonalakat akarunk, tan(ZK)
= 1 miatt a szálak magasságára vonatkozó követelmény:


G2
= G1×

tan(σ1)

×

tan(σ2)-1

tan(σ2)

tan(σ1)-1

A
kétszálas asztali napórák babiloni rendszerű óraskálázásának
alapegyenleteit elsőként H.
Michnik

ismertette. Ha a napkeltétől számított B
babiloni óra óravonalának y=ƒ(x)
skálafüggvényét keressük, a

G1×sin(φ)×cos(φ)×[1-cos(B)]×y-G2×cos(φ)×sin(Bx
=

=
G1×G2×{1-[1-cos(B)]×cos2(φ)}

képlettel
kell számolni. Ezek az óravonalak egyúttal a

G2×cos2(φx2+G12×sin(2φy+G2×G12×cos(2φ)
= 0

egyenletű
parabola burkoló érintői. Ezekre az óravonalakra is érvényes a
skála egyen-szögűségére korábban levezetett összefüggés.
Azaz, ha


G1

×sin(φ)
= 1

G2

akkor
az óravonalak Z(B)
szögei egyenlők a B
(babiloni rendszerű) óraszögek felével: Z
= B/2.
Az itáliai rendszer óravonalait lényegében a babilóniai
vonalaknak az É-D irányú koordináta tengelyre való tükrözésével
és átskálázásával is megkaphatjuk.

 



A www.mcse.hu oldal felületén sütiket (cookie) használunk. Ezeket a fájlokat az ön gépén tárolja a rendszer. Az oldal használatával ön beleegyezik a cookie-k használatába. További információért kérjük olvassa el adatvédelmi tájékoztatónkat. További információ

The cookie settings on this website are set to "allow cookies" to give you the best browsing experience possible. If you continue to use this website without changing your cookie settings or you click "Accept" below then you are consenting to this.

Close